Имеет ли право папа на отпуск по уходу за ребенком? На каком основании?

Да, отец ребенка имеет право брать отпуск по уходу за ребенком.
В соответствии со ст. 256 ТК РФ отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.
По заявлению лиц, находящихся в отпуске по уходу за ребенком во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).